矢量说明书
从一个对象到另一个对象的方向和距离

了解矢量算术

矢量算术是 3D 图形、物理和动画的基础,深入了解这一主题对于充分发挥 Unity 的功能很有帮助。以下是主要运算的说明以及有关它们的用途的一些建议。

加法

当两个矢量相加时,结果相当于将原始矢量依次作为“步骤”。请注意,两个参数的顺序无关紧要,因为两种方式的结果都相同。

如果将第一个矢量视为空间中的一个点,那么第二个矢量可以解释为从该位置的偏移或“跳跃”。例如,为了找到地面上某个位置上方 5 个单位的点,可使用以下计算:

 var pointInAir = pointOnGround + new Vector3(0, 5, 0);

如果矢量代表力,那么从力的方向和大小来考虑它们将会更直观。两个力矢量相加会产生一个等于力的组合的新矢量。施加的力同时有若干单独分量起作用时(例如,向前推进的火箭还可能受到侧风影响),此概念通常很有用。

减法

矢量减法通常用于获取从一个对象到另一个对象的方向和距离。请注意,两个参数的顺序对于减法很__重要__:

// 矢量 d 的大小与 c 相同,但指向相反的方向。
var c = b - a;
var d = a - b;

与数字一样,与负向矢量相加相当于减去正向矢量。

// 这两者得出相同的结果。
var c = a - b;
var c = a + -b;

负向矢量的大小与原始矢量相同并沿着同一条线指向,但在完全相反的方向上。

标量乘法和除法

在讨论矢量时,通常将普通数(例如,浮点值)称为标量。这意味着标量只有“标度”或大小,而矢量兼具大小和方向。

将矢量乘以标量会产生与原始矢量方向相同的矢量。但是,新矢量的大小等于原始大小乘以标量值。

同样,标量除法将原始矢量的大小除以标量。

当矢量表示移动偏移或力时,这些运算很有用。通过这些运算可以更改矢量的大小而不影响其方向。

当任何矢量除以其自身的大小时,得到的结果是大小为 1 的矢量,即所谓的归一化矢量。如果归一化矢量乘以标量,则结果的大小将等于该标量值。当力的方向恒定但强度可控时(例如,来自车轮的力总是向前推动,但是动力由驾驶员控制),这会很有用。

点积

点积取两个矢量并返回标量。该标量等于两个矢量相乘的大小,得到的结果再乘以矢量之间角度的余弦。当两个矢量都被归一化时,余弦本质上表示第一个矢量在第二个矢量的方向上延伸的距离(反之亦然 - 参数的顺序无关紧要)。

想象成角度再使用计算器找到相应的余弦,这种处理方式比较容易。但是,还有一种有用的方法可以直观了解一些主余弦值,如下图所示:

点积是一种非常简单的运算,在某些情况下可用于代替 Mathf.Cos 函数或矢量大小运算(功能不完全相同但有时效果相同)。但是,计算点积函数所需的 CPU 时间要少得多,因此可作为一种有价值的优化。

差积

其他运算是针对 2D 和 3D 矢量甚至任意维度的矢量定义的。相比之下,差积仅对 3D 矢量有意义。它需要两个矢量作为输入,并返回另一个矢量作为结果。

结果矢量垂直于两个输入向量。可使用“左手规则”根据输入矢量的排序确定输出矢量的方向。如果第一个参数对应于手的拇指,而第二个参数对应于食指,则结果将指向中指的方向。如果参数的顺序颠倒,得到的矢量将指向完全相反的方向,但大小相同。

结果的大小等于输入矢量的大小相乘,然后该值再乘以二者之间角度的正弦。正弦函数的一些有用值如下所示:

差积看起来很复杂,因为它在返回值中结合了多方面的有用信息。然而,就像点积一样,它在数学上的效率非常高,可用于优化代码,否则这些代码将不得不依赖于缓慢的超越函数。

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